隨機過程是以數(shù)學(xué)集合為索引的隨機變量集合。每個概率和隨機過程都與集合中的一個元素唯一相關(guān)。索引集是用來索引隨機變量的集合。傳統(tǒng)上，索引集是實線的一個子集，如自然數(shù)，這使索引集具有時間解釋。

值集中的每個隨機變量都取自同一個數(shù)學(xué)空間，稱為空間。例如，空間可以是整數(shù)、實線或 η 維歐幾里得空間。隨機過程的增量是隨機過程在兩個指數(shù)值之間的變化量，通常解釋為兩個時間點。由于隨機性，隨機過程可以有很多結(jié)果，隨機過程的一個結(jié)果被稱為檢驗函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)等。

一、分類

隨機過程可以有多種分類方法，例如，根據(jù)其狀態(tài)空間、索引集或?qū)﹄S機變量的依賴性進行分類，而隨機過程的分類方法之一是根據(jù)索引集和狀態(tài)空間的卡入度進行分類。

當(dāng)一個隨機過程用時間來表示時，如果它的索引集包含有限個或可數(shù)個元素，如有限個數(shù)集、整數(shù)集或自然數(shù)集，那么它就被稱為離散時間隨機過程。如果索引集是實線的區(qū)間，則稱其為連續(xù)時間。離散時間隨機過程和連續(xù)時間隨機過程是隨機過程的兩種類型。連續(xù)時間隨機過程需要更復(fù)雜的數(shù)學(xué)技術(shù)和知識，特別是因為索引集是不可計算的，而離散時間隨機過程被認為更容易研究。如果索引集由整數(shù)或整數(shù)子集組成，隨機過程也稱為隨機序列。

如果空間由整數(shù)或自然數(shù)組成，隨機過程稱為離散或整數(shù)隨機過程。如果空間是實線，隨機過程稱為實值隨機過程或連續(xù)空間過程。如果空間是 η 維歐幾里得空間，隨機過程稱為 η 維向量過程或 η 向量過程。

二、隨機過程的類型

任何事件的概率都取決于一系列外部因素。數(shù)學(xué)中的概率》一章探討了這些因素的數(shù)學(xué)解釋及其用于計算此類事件的概率。根據(jù)概率論，所有隨機變量的計算都是為了找到一個事件發(fā)生的確定數(shù)字。當(dāng)這些隨機變量組合成一個集合時，就稱為隨機過程。隨機過程用于數(shù)學(xué)模型中，用來理解任何高度隨機行為導(dǎo)致的現(xiàn)象或系統(tǒng)。在這個不斷活躍和變化的世界中，這種現(xiàn)象隨時隨地都可能發(fā)生。

為了便于學(xué)習(xí)隨機過程，我們將其分為不同的類別。如果樣本空間由有限的數(shù)集或可數(shù)元素(如整數(shù)、自然數(shù)或任何實數(shù))組成，則在時間上保持離散。 如果是不可數(shù)的索引集，過程就會變得更加復(fù)雜。這門課程在高年級教授。本文將討論離散時間中的隨機過程。

構(gòu)成隨機過程的不同類型過程如下：

1.伯努利過程

伯努利過程是最簡單的隨機過程之一。它是一連串獨立且同分布的隨機變量(iid)，其中每個隨機變量的概率為 1 或 0，例如，1 的概率為 P，0 的概率為 1-P。這個過程類似于重復(fù)拋擲硬幣，得到正面的概率為 P，數(shù)值為 1，得到尾部的概率為 0。換句話說，伯努利過程是一系列 iid 伯努利隨機變量，其中每次拋硬幣代表一個伯努利過程。

2.隨機游走

隨機游走是一種隨機過程，通常定義為歐幾里得空間中 iid 隨機變量或隨機向量的和，即離散時間過程。不過，也有人用這個術(shù)語來指實時變化的過程，如金融學(xué)中使用的維納過程，這引起了一些混淆和批評。其他類型的隨機路徑的定義方式使其狀態(tài)空間可以是其他數(shù)學(xué)對象，如網(wǎng)格和群，并在各學(xué)科中得到廣泛研究和應(yīng)用。

簡單隨機游走是隨機游走的一個經(jīng)典例子。它是一種以整數(shù)為狀態(tài)空間的隨機離散時間過程，以伯努利過程為基礎(chǔ)，其中每個伯努利變量都取正值或負值。換句話說，簡單隨機游走發(fā)生在整數(shù)上，其值增加 1 的概率為 1-p，或減少 1 的概率為 1-p，因此這種隨機游走的指數(shù)集由自然數(shù)組成，而其狀態(tài)空間由整數(shù)組成。如果 p=0.5，這種隨機游走稱為非對稱隨機游走。

3.維納過程

維納過程是一個靜態(tài)隨機過程，其增量的大小獨立且呈正態(tài)分布。維納過程是以證明其數(shù)學(xué)存在性的諾伯特-維納命名的，但也被稱為布朗運動過程或簡單的布朗運動，因為它作為流體中布朗運動的模型具有重要的歷史意義。

維納過程在概率論中起著核心作用，通常被認為是最重要的隨機過程，其研究與其他隨機過程有關(guān)。它具有連續(xù)的指數(shù)集和狀態(tài)空間，因為其指數(shù)集和狀態(tài)空間分別是非負數(shù)和實數(shù)。不過，該過程也可以定義得更寬泛，使其狀態(tài)空間成為無量綱歐幾里得空間。如果每個增量的平均值為零，則稱所產(chǎn)生的維納或布朗運動過程為零漂移。如果兩個時間點之間的平均增量等于時間差乘以常數(shù) μ(μ 為實數(shù))，則所得到的隨機過程稱為漂移 μ。

幾乎可以肯定的是，維納過程的樣本軌跡在任何地方都是連續(xù)的，但在任何一點都不可微?？梢詫⑵湟暈楹唵坞S機游走的連續(xù)變體。唐斯克定理或不變性原理，也稱為中心函數(shù)極限定理，涉及其他隨機過程的數(shù)學(xué)極限，如一些標(biāo)量隨機游走。

維納過程屬于幾個重要的隨機過程族，包括馬爾可夫族、萊維族和高斯族。該過程應(yīng)用廣泛，是隨機微積分中的主要隨機過程。它是定量金融學(xué)的基礎(chǔ)，被用于 Black-Scholes-Merton 模型等模型中。該過程還被用作多個領(lǐng)域中各種隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，包括大多數(shù)自然科學(xué)和社會科學(xué)的一些分支。

4.泊松過程

泊松過程是一種具有不同形式和定義的隨機過程。它是一個計數(shù)過程，是一個隨機過程，代表某個時間間隔內(nèi)的隨機點數(shù)或事件。過程中位于從零到給定時間間隔內(nèi)的點數(shù)是一個隨機泊松變量，取決于該時間和某個參數(shù)。該過程的狀態(tài)空間由自然數(shù)組成，其索引集由非負數(shù)組成。這個過程也被稱為泊松計數(shù)過程，因為它可以被解釋為一個計數(shù)過程。

同質(zhì)泊松過程是一種泊松過程，其中泊松過程由一個單一的正常數(shù)定義。同質(zhì)泊松過程與馬爾可夫過程和萊維過程屬于同一類隨機過程。

同質(zhì)泊松過程有多種定義和概括方法。這種隨機過程也被稱為靜止泊松過程，因為它的指數(shù)集是一條實線。如果把泊松過程的常數(shù)參數(shù)換成非負積分函數(shù) t，那么得到的過程就稱為非均質(zhì)或非均質(zhì)泊松過程，因為過程中各點的平均密度不再是常數(shù)。泊松過程是排隊論中的一個基本過程，也是數(shù)學(xué)模型中的一個重要過程，它被用來模擬在一定時間窗口內(nèi)隨機發(fā)生的事件。

海馬課堂專業(yè)課程輔導(dǎo)，2300+嚴(yán)選碩博學(xué)霸師資，針對學(xué)生的薄弱科目和學(xué)校教學(xué)進度，匹配背景相符的導(dǎo)師，根據(jù)學(xué)生情況進行1V1專屬備課，上課時間靈活安排，中英雙語詳細講解課程中的考點、難點問題，并提供多方位的課后輔導(dǎo)，輔助學(xué)生掌握全部課程知識，補足短板。