多變量微積分課程涵蓋了向量和多元微積分。在麻省理工學院，它標記為18.02，是麻省理工學院新生微積分課程的第二學期。課程內容包括向量和矩陣、參數(shù)曲線、偏導數(shù)、二重和三重積分，以及在二維和三維空間中的向量微積分。

正如其名稱所示，多元微積分是微積分的擴展，涉及到多于一個自變量的情況。也就是說，在單變量微積分中，你研究的是一個獨立自變量的函數(shù)：

y=f(x)。

在多元微積分中，我們研究兩個或更多獨立自變量的函數(shù)，例如：

z=f(x, y)或w=f(x, y, z)。

這些函數(shù)本身就具有趣味性，但它們也是描述物理世界的重要工具。

許多事物都依賴于不止一個獨立自變量。以下是一些例子：

·在熱力學中，壓力取決于體積和溫度。

·在電學和磁學中，磁場和電場是三個空間變量(x、y、z)和一個時間變量t的函數(shù)。

·在經(jīng)濟學中，函數(shù)可以依賴于大量獨立自變量，例如，制造商的成本可能取決于27種不同商品的價格。

·在建模流體或熱流動時，速度場依賴于位置和時間。

單變量微積分是一個高度幾何的學科，多元微積分也是如此，甚至可能更加如此。在你的微積分課程中，你學習了函數(shù)y=f(x)的圖形，并學會了將導數(shù)和積分與這些圖形聯(lián)系起來。在這門課程中，我們也將研究圖形并將它們與導數(shù)和積分聯(lián)系起來。一個關鍵的區(qū)別是，更多的變量意味著更多的幾何維度。這使得圖形的可視化既更加困難，也更有價值和有用。

在課程結束時，你將知道如何對多個變量的函數(shù)進行微分和積分。在單變量微積分中，微積分基本定理將導數(shù)與積分聯(lián)系起來。在多元微積分中，我們也會看到類似的情況，而課程的頂點將是三個定理(格林、斯托克斯和高斯定理)。

課程目標

完成這門課程后，學生應該已經(jīng)形成了多元微積分的基本概念的清晰理解，并具備一系列能夠使他們有效地應用這些概念的技能。

基本概念包括：

·導數(shù)作為變化率，通過極限比率計算

·積分作為“和”，通過黎曼和的極限計算

技能包括：

·熟練掌握向量運算，包括向量證明以及在各種描述幾何性質的方式之間自如轉換，即圖形、文字、向量表示和坐標表示。

·熟練掌握矩陣代數(shù)，包括將線性方程系統(tǒng)轉化為矩陣格式并使用矩陣乘法和矩陣逆解決它們的能力。

·對參數(shù)曲線的理解，將其視為由位置向量描述的軌跡;能夠找到曲線的參數(shù)方程并計算其速度和加速度向量。

·對梯度的全面理解，包括與等高線(或曲面)、方向導數(shù)和線性近似的關系。

·使用鏈式法則或全微分法計算導數(shù)的能力。

·能夠設置和解決涉及多個變量的優(yōu)化問題，無論是否有約束條件。

·對工作和通量的線積分、通量的面積積分、通用面積積分和體積積分的理解。同時，了解這些積分的物理解釋。

·能夠在直角、極坐標、柱坐標和球坐標中設置和計算多重積分。

·能夠在多重積分中更換變量。

·對課程中的主要定理(格林、斯托克斯、高斯)以及這些定理的一些物理應用的理解。

課程結構

這門為獨立學習設計的課程已經(jīng)組織成按照麻省理工學院多元微積分課程中涵蓋的主題順序進行的。課程內容分為四個主要單元：

1.向量和矩陣

2.偏導數(shù)

3.平面內的二重積分和線積分

4.三維空間中的三重積分和曲面積分

每個單元都進一步劃分為不同的部分(A、B、C等)，每個部分包含一系列課程。由于每個課程都建立在以前課程的知識基礎上，按順序進行課程進度非常重要。每個課程涵蓋了你可能在一次學習中完成的內容。

在每個單元內，你將在戰(zhàn)略性的點上收到一組問題，以便測試你對材料的理解。每個單元結束時，都會有一個綜合考試，涵蓋了你在該單元中學到的所有主題。

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