離散數(shù)學是涉及離散元素并使用代數(shù)和算術(shù)的數(shù)學分支。它被持續(xù)應(yīng)用于數(shù)學和計算機科學的許多領(lǐng)域。它被認為是開發(fā)和解決問題的高效方法。離散數(shù)學側(cè)重于系統(tǒng)地研究本質(zhì)上是離散的、不需要相信連續(xù)性的數(shù)學結(jié)構(gòu)。它也被稱為決策數(shù)學或有限數(shù)學，研究對象可以有多個離散值。這一數(shù)學分支所研究的對象在很大程度上是可量化的，如形式語言、整數(shù)、有限圖等。近幾十年來，離散數(shù)學在計算機科學中得到了廣泛的應(yīng)用，如編程語言、軟件開發(fā)、密碼學、算法等。它涵蓋了圖論、集合論、概率論等各種主題。本文將給大家解釋離散數(shù)學的7個主要分支。

一、什么是離散數(shù)學?

離散數(shù)學是數(shù)學的一個分支，它所處理的對象只考慮不同和獨特的值。與連續(xù)數(shù)學不同，離散數(shù)學可以用整數(shù)來描述。它是計算機科學的數(shù)學語言，可應(yīng)用于數(shù)學的實際領(lǐng)域。簡而言之，離散數(shù)學提供了對數(shù)學語言的理解，可以通過其各個分支來學習。

二、離散數(shù)學的7個主要分支

1.組合數(shù)學

組合數(shù)學是關(guān)于計數(shù)和組織的特殊數(shù)學。它使用數(shù)學運算對事物(大數(shù))進行計數(shù)，并相應(yīng)地對它們進行組織。在計算機科學中，組合方法有助于開發(fā)和測量計算機算法所需的運算次數(shù)。它是離散數(shù)學研究中的一個重要課題。

由于它指的是事物的排序(分組)，因此可用于以均勻概率計算事件中可能出現(xiàn)的結(jié)果。對事物進行分組的基本規(guī)則是乘積規(guī)則和總和規(guī)則，它們分別通過乘法和加法進行排列。

組合學處理的是集合中物體的排列或可能的配置，有三種類型的組合問題：

存在組合學：研究某些配置的存在與否。

枚舉組合學：研究給定類型的配置數(shù)量。

構(gòu)造組合學：研究確定某些相反構(gòu)型以反映其存在的方法。

2.圖論

圖論是對各種類型圖的系統(tǒng)研究，而圖歸根結(jié)底是相互連接的節(jié)點的集合體。簡單地說，圖是由一系列稱為邊的線連接起來的稱為節(jié)點或頂點的點的集合。對圖或圖論的研究是數(shù)學、工程學和計算機科學等多個學科的重要組成部分。

圖對于表示各種實際問題特別有用。一般來說，圖 (G) 包含兩部分內(nèi)容;

一個集合 V = V(G)，集合的相關(guān)部分稱為 G 的頂點、點或節(jié)點。

一個集合 E = E(G)，由無序的一對不相連的頂點組成，稱為 G 的邊。

3.數(shù)論

數(shù)論是對自然數(shù)的研究，尤其是對自然數(shù)可分性的研究。自然數(shù)由加法和乘法的交換運算和聯(lián)立運算組成，其中每個數(shù)都有一個同一性，乘法重疊加法。此外，除了標識元素 0 和 1 之外，沒有一個自然數(shù)具有加法或乘法逆運算。

可除性：如果對于給定的數(shù) a 和 b，(a÷b) 的結(jié)果有可能是一個整數(shù)，那么在這個條件下，可以說 b 除以 a，符號為 b | a，如果是這種情況，b 就是 a 的被除數(shù)或因數(shù)，a 就是 b 的倍數(shù)。換句話說 如果 b | a，那么對于整數(shù) k，a = bk。關(guān)于可除性的一些有價值的事實;

如果 d | m 和 d | n，那么 d | (m + n)。如果 m = ad，n = bd，那么 (m + n) = (a+b)d。

若 d | n，且 n ≠ 0，則 d ≤ n。假設(shè) n = k，d ≠ 0 意味著 k ≥ 1 意味著 n = kd ≥ d。

對于所有 d，d | 0。

若 d|m 或 d|n，則 d|mn。假設(shè) m = kd，則 mn = (nk)d，或者，如果 n = kd，則 mn = (mk)d。

有時，自然數(shù) N 的定義(包括 0)與數(shù)論家的定義(不包括 0)之間也存在矛盾。一般來說，數(shù)論家希望不包括 0，因為許多定理都需要 "0 以外 "的子句。

4.概率論

概率可定義為確定事件發(fā)生的可能性;用數(shù)學術(shù)語來說，它是對隨機過程及其相關(guān)結(jié)果的詳細描述。要表示一個事件的概率，可以用介于 0 和 1 之間的數(shù)字來表示。各種概率法則在不同領(lǐng)域都有深遠的應(yīng)用，如遺傳學、天氣預報、股票市場等。除這些領(lǐng)域外

離散概率是基于一組離散結(jié)果的概率。

概率的最基本形式是均勻概率。如果一組結(jié)果的可能性相同，則每個事件的概率等于各結(jié)果的概率之比。

概率的積、和、補定律與組合學中的相同定律類似。概率的包含與排除原理(IEP)的結(jié)構(gòu)也與組合學中的相同。

5.集合論

集合論是數(shù)學的一個分支，主要研究對象集合。集合既可以是離散的，也可以是連續(xù)的，集合論的基本內(nèi)容是為什么以及如何對這些集合進行排序、連接和計算。其中包括

有限集合的萬有引力是集合中元素的個數(shù)。給定集合 A 的萬有引力可以表示為 |A|。

集合的補集是不屬于該集合的元素的集合。對集合補集的研究也為計算有限集合的萬有引力提供了各種方法。

組合和相交提供了幾種方法來解釋如何組合集合。

德摩根定律為組合和相交的補集提供了同式/定理。

包含與排除原理(PEE)提供了確定兩個或多個集合的包含或排除的過程。

6.布爾代數(shù)

布爾代數(shù)描述了由具有真(1)或假(0)值的變量定義的運算。它用于計算機或數(shù)字電路的設(shè)計，這些電路使用邏輯門將信號作為輸入并將信號作為輸出。

它遵循布爾代數(shù)的特性;

交換性質(zhì)：(i) a+b=b+a 和 (ii) a*b=b*a.

分配性質(zhì)：(i)a+(b*c)=(a+b)*(a+c)，(ii)a*(b+c)=(a*b)+(a*c)。

同余式性質(zhì)：(i) a+0=a 和 (ii) a*1=a.

完全律：(i) a+a'=1 和 (ii)a*a'=0.

7.二叉樹

沒有循環(huán)的圖稱為非循環(huán)圖。樹是無周期圖或無循環(huán)圖。樹是簡單的無循環(huán)圖或無循環(huán)圖，一般樹是由稱為節(jié)點或頂點的組件組成的非空有限集合，每個節(jié)點的階數(shù)可以是 1 或以上，也可以是 n 或以下。

如果指定的是二叉樹，那么在有向樹中，當每個節(jié)點的外度小于或等于 2 時，這棵樹就稱為二叉樹。包含節(jié)點的樹，如空樹，也是二叉樹。

二叉樹的一些基本術(shù)語和定義如下;

二叉樹有一個節(jié)點，稱為樹根。

左子：根的左邊節(jié)點稱為它的左子。

右子：根的右節(jié)點稱為右子。

父節(jié)點：父節(jié)點是指有左子節(jié)點或右子節(jié)點，或同時有左子節(jié)點和右子節(jié)點的節(jié)點。

同胞： 樹中具有相同父節(jié)點的兩個節(jié)點稱為同胞節(jié)點。

葉子：沒有子節(jié)點的節(jié)點稱為葉子。不過，樹中葉子的數(shù)量可以從至少一個到不超過樹中節(jié)點數(shù)量的一半不等。

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