在線性代數(shù)中，特征值(Eigenvalue)和特征向量(Eigenvector)是矩陣運(yùn)算中的重要概念。它們?cè)诤芏囝I(lǐng)域，如線性代數(shù)、物理學(xué)、工程學(xué)以及機(jī)器學(xué)習(xí)中都有廣泛的應(yīng)用。這篇文章為大家?guī)?lái)哥倫比亞大學(xué)特征值和特征向量知識(shí)點(diǎn)講解。

一、特征值和特征向量

這是本文中最重要的定義。

特征值(Eigenvalue)： 特征值是一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，用于描述一個(gè)方陣(通常是一個(gè)矩陣乘以自己的轉(zhuǎn)置矩陣)在線性變換中的縮放因子。對(duì)于一個(gè) n × n 的方陣 A，如果存在實(shí)數(shù) λ 使得以下方程成立：

A * v = λ * v

其中，v 是一個(gè)非零向量，那么 λ 就是 A 的一個(gè)特征值。特征值 λ 揭示了在進(jìn)行線性變換時(shí)，向量 v 的放大或縮小倍數(shù)。

特征向量(Eigenvector)： 特征向量是與特定特征值相對(duì)應(yīng)的向量。對(duì)于方陣 A 和特征值 λ，特征向量 v 是一個(gè)非零向量，滿足以下方程：

A * v = λ * v

特征向量 v 描述了在線性變換下，由特征值 λ 所表示的縮放因子所確定的方向。

德語(yǔ)前綴“eigen”大致翻譯為“自身”或“自有”。矩陣A的特征向量是一個(gè)通過(guò)矩陣變換T(x)=Ax得到自身的倍數(shù)的向量，這或許可以解釋這個(gè)術(shù)語(yǔ)的來(lái)源。另一方面，“eigen”通常被翻譯為“特征”;我們可以將特征向量視為描述矩陣A的內(nèi)在或特征性質(zhì)的方式。

二、應(yīng)用

特征值和特征向量在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，包括：

物理學(xué)： 在量子力學(xué)中，波函數(shù)的特征值和特征向量描述了粒子的狀態(tài)。

工程： 在結(jié)構(gòu)力學(xué)和振動(dòng)分析中，特征值和特征向量可用于分析結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)頻率和模態(tài)形態(tài)。

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)： 在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，特征值和特征向量可用于計(jì)算變換矩陣，例如旋轉(zhuǎn)和縮放。

數(shù)據(jù)分析： 在數(shù)據(jù)降維和主成分分析中，特征值和特征向量用于找到數(shù)據(jù)集的主要變化方向。

特征值和特征向量的概念在許多數(shù)學(xué)和應(yīng)用領(lǐng)域中都是重要的工具，能夠幫助我們理解和分析矩陣變換以及相關(guān)問(wèn)題。

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