常常有這樣的情況，我們希望知道一個(gè)函數(shù)的定積分，但是這個(gè)函數(shù)沒(méi)有解析反導(dǎo)數(shù)。然而，有一種方法可以通過(guò)將函數(shù)分成小區(qū)間并近似計(jì)算面積來(lái)近似計(jì)算積分。一種常見(jiàn)的教授方法是黎曼和，其中使用矩形來(lái)近似計(jì)算定積分。有些函數(shù)對(duì)這樣的方法近似計(jì)算積分效果不好，誤差很大。這種情況出現(xiàn)在函數(shù)具有大變化區(qū)域和小變化區(qū)域的時(shí)候。如果使用簡(jiǎn)單均勻間隔的區(qū)間進(jìn)行數(shù)值近似，誤差將是相當(dāng)大的。一個(gè)例子是使用大間隔的簡(jiǎn)單黎曼和;這將產(chǎn)生代表不符合預(yù)期面積的大面積。

我們使用所謂的自適應(yīng)積分法，這種技術(shù)嘗試預(yù)測(cè)函數(shù)變化的程度，并相應(yīng)地改變步長(zhǎng)。自適應(yīng)積分法的近似不僅高效，而且還在指定的誤差容限范圍內(nèi)。自適應(yīng)積分不僅減少了誤差，還允許我們?cè)诓灰蕾囉诤瘮?shù)更高階導(dǎo)數(shù)知識(shí)的情況下預(yù)測(cè)誤差估計(jì)。雖然不是沒(méi)有誤差，但自適應(yīng)積分為我們提供了一種方法，用以比其他方法更準(zhǔn)確地?cái)?shù)值近似函數(shù)的定積分，甚至是所謂的行為不良函數(shù)。行為不良函數(shù)沒(méi)有導(dǎo)數(shù)可以導(dǎo)出容易估計(jì)的區(qū)域。相反，函數(shù)可以被微分的次數(shù)越多，它的行為就越良好。還應(yīng)注意，這種自適應(yīng)方法在估計(jì)所謂的行為良好函數(shù)時(shí)與其非自適應(yīng)對(duì)應(yīng)方法一樣有效。

一、什么是數(shù)值積分?

在數(shù)值分析中，數(shù)值積分涉及一系列用于計(jì)算定積分?jǐn)?shù)值的算法，此外，這個(gè)術(shù)語(yǔ)有時(shí)也用于描述微分方程的數(shù)值解法。數(shù)值積分所考慮的基本問(wèn)題是計(jì)算定積分的近似解。它與解析積分不同，有兩個(gè)方面的不同：首先，它是一個(gè)近似值，不會(huì)得出精確答案;誤差分析是數(shù)值積分中非常重要的一個(gè)方面。其次，它不會(huì)產(chǎn)生一個(gè)基本函數(shù)，可以用來(lái)確定任意邊界下的面積;它只會(huì)產(chǎn)生一個(gè)表示面積近似值的數(shù)值。

二、數(shù)值積分的背景

數(shù)值積分的起源可以追溯到古代。一個(gè)典型的例子是通過(guò)內(nèi)接和外接正多邊形來(lái)進(jìn)行圓的希臘求面積法。這個(gè)過(guò)程導(dǎo)致了阿基米德對(duì)π的一個(gè)上界和下界。由于缺乏形式化的微積分，這些方法被廣泛使用。無(wú)限小區(qū)間的總和方法在十六世紀(jì)之前是未知的，當(dāng)牛頓將我們現(xiàn)在稱之為微積分的概念正式化時(shí)，這個(gè)方法是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。數(shù)值積分的早期形式類似于希臘方法，將正多邊形內(nèi)切到曲線函數(shù)中。這個(gè)過(guò)程可以分解為取一個(gè)已知區(qū)域，將其與一個(gè)未知區(qū)域重疊以近似計(jì)算未知形狀的面積。通過(guò)選擇更合適的形狀，可以提高準(zhǔn)確性。后來(lái)的方法決定在估計(jì)曲線下的面積時(shí)改進(jìn)，決定使用更多面積更小的正多邊形。這種方法的一個(gè)例子是使用矩形來(lái)估計(jì)曲線下的面積，而不是使用矩形來(lái)更好地適應(yīng)函數(shù)的曲率。今天，數(shù)值積分的最佳方法被稱為具有非常小誤差的積分法。

三、數(shù)值積分的要素

如果f(x)是一個(gè)平滑良好的函數(shù)，在有限的維度上積分，并且積分的限制是有界的，那么有許多方法可以用任意精度來(lái)近似積分。我們考慮一個(gè)不定積分：

數(shù)值積分方法通?？梢悦枋鰹閷⒎e分的評(píng)估結(jié)合起來(lái)，從而得到對(duì)積分的近似。積分在一個(gè)有限的點(diǎn)集(稱為積分點(diǎn))上進(jìn)行評(píng)估，然后使用這些值的加權(quán)和來(lái)近似積分。例如，如果我們使用矩形作為我們的形狀：

在這個(gè)例子中，定積分是通過(guò)矩形的面積來(lái)近似計(jì)算的。積分點(diǎn)和權(quán)重取決于所使用的具體方法以及近似所需的精度。任何數(shù)值積分方法分析的一個(gè)重要部分是研究近似誤差隨積分評(píng)估次數(shù)的函數(shù)行為。通常認(rèn)為，對(duì)于少量評(píng)估次數(shù)產(chǎn)生小誤差的方法是優(yōu)越的。減少積分評(píng)估次數(shù)減少了所涉及的算術(shù)運(yùn)算次數(shù)，從而減少了總的舍入誤差。此外，每次評(píng)估都需要時(shí)間，而積分可能會(huì)任意復(fù)雜。需要注意的是，如果將分割數(shù)取為無(wú)限大，這將逼近表示曲線下面積的解析函數(shù)(在微積分中導(dǎo)出)。在實(shí)際操作中，我們不這樣做，因?yàn)闊o(wú)限數(shù)量的分割會(huì)需要極大的計(jì)算能力，而且很少需要達(dá)到完全精確。

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