在數(shù)學(xué)中，微分方程是包含一個(gè)或多個(gè)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義了函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率。它主要用于物理學(xué)、工程學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域。微分方程的主要目的是研究滿足方程的解以及解的性質(zhì)。在此學(xué)習(xí)如何解微分方程。

解微分方程最簡(jiǎn)單的方法之一是使用顯式公式。在本文中，我們將討論微分方程的定義、類型、求解方法、微分方程的階和度、常微分方程，并結(jié)合實(shí)詞示例和已解問(wèn)題。

1.微分方程的定義

微分方程是包含一個(gè)或多個(gè)項(xiàng)以及一個(gè)變量(即因變量)相對(duì)于另一個(gè)變量(即自變量)的導(dǎo)數(shù)的方程

dy/dx = f(x)

這里 "x "是自變量，"y "是因變量

例如，dy/dx = 5x

微分方程包含偏導(dǎo)數(shù)或常導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)代表變化率，微分方程描述的是連續(xù)變化的量與另一個(gè)量的變化之間的關(guān)系。有很多微分方程公式可以用來(lái)求導(dǎo)數(shù)的解。

2.微分方程的階數(shù)

微分方程的階數(shù)是方程中最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。這里給出了微分方程不同階數(shù)的一些示例。

dy/dx = 3x + 2 , The order of the equation is 1

(d2y/dx2)+ 2 (dy/dx)+y = 0. The order is 2

(dy/dt)+y = kt. The order is 1

3.一階微分方程

從第一個(gè)例子中可以看出，這是一個(gè)階數(shù)等于 1 的一階微分方程。所有導(dǎo)數(shù)形式的線性方程都是一階的。 它只有一階導(dǎo)數(shù)，如 dy/dx，其中 x 和 y 是兩個(gè)變量，表示為

dy/dx = f(x, y) = y’

4.二階微分方程

包含二階導(dǎo)數(shù)的方程就是二階微分方程。 它表示為

d/dx(dy/dx) = d2y/dx2 = f”(x) = y”

5.微分方程的階數(shù)

微分方程的階數(shù)是最高階導(dǎo)數(shù)的冪，原方程以導(dǎo)數(shù)多項(xiàng)式方程的形式表示，如 y'、y"、y"'等。

假設(shè) (d2y/dx2)+ 2 (dy/dx)+y = 0 是一個(gè)微分方程，那么這個(gè)方程的階數(shù)就是 1：

dy/dx + 1 = 0, degree is 1

(y”’)3 + 3y” + 6y’ – 12 = 0, degree is 3

(dy/dx) + cos(dy/dx) = 0;它不是 y′ 中的多項(xiàng)式方程，而且無(wú)法定義這種微分方程的階數(shù)。

6.常微分方程

常微分方程涉及函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。它只包含一個(gè)自變量及其相對(duì)于該變量的一個(gè)或多個(gè)導(dǎo)數(shù)。

常微分方程的階數(shù)定義為方程中出現(xiàn)的最高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。n 階常微分方程的一般形式為

F(x, y, y’,…., yn ) = 0

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