在數(shù)學(xué)中，線性規(guī)劃是一種在一定約束條件下優(yōu)化運(yùn)算的方法。線性規(guī)劃的主要目標(biāo)是最大化或最小化數(shù)值。它由受線性方程或不等式形式約束的線性函數(shù)組成。線性規(guī)劃被認(rèn)為是一種重要的技術(shù)，用于尋找資源的最佳利用方式。線性規(guī)劃 "一詞由兩個詞組成：線性和規(guī)劃。線性 "一詞定義了多個變量之間的一級關(guān)系。而 "編程 "一詞則定義了從多個備選方案中選擇最佳解決方案的過程。本文將介紹線性規(guī)劃的定義、其組成部分以及解決線性規(guī)劃問題的不同方法。

1.什么是線性規(guī)劃?

線性規(guī)劃(LP)或線性優(yōu)化可定義為在線性約束條件下最大化或最小化線性函數(shù)的問題。約束條件可以是等式或不等式。優(yōu)化問題涉及損益計(jì)算。 線性規(guī)劃問題是一類重要的優(yōu)化問題，有助于找到可行區(qū)域并優(yōu)化解決方案，以實(shí)現(xiàn)函數(shù)的最高值或最低值。

換句話說，線性規(guī)劃是一種優(yōu)化方法，可使數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)最大化或最小化，而數(shù)學(xué)模型的一系列要求則由線性關(guān)系表示。線性規(guī)劃的主要目標(biāo)是找到最優(yōu)解。

線性規(guī)劃是一種評估與特定情況相關(guān)的各種不等式并計(jì)算在這些條件下可獲得的最佳值的方法。使用線性規(guī)劃時的一些假設(shè)如下：

a.必須量化約束條件的數(shù)量。

b.約束條件與目標(biāo)函數(shù)之間必須是線性關(guān)系。

c.必須優(yōu)化線性函數(shù)(即目標(biāo)函數(shù))。

2.線性規(guī)劃的組成部分

線性規(guī)劃的基本組成部分如下：決策變量、決策條件、數(shù)據(jù)、目標(biāo)函數(shù)。

3.線性規(guī)劃的特點(diǎn)

以下是線性規(guī)劃的五個特點(diǎn)：

a.約束條件 - 約束條件必須用資源的數(shù)學(xué)形式表示。

b.目標(biāo)函數(shù) - 在問題中，目標(biāo)函數(shù)應(yīng)以定量方式定義。

c.線性 - 函數(shù)中兩個或多個變量之間的關(guān)系應(yīng)是線性的。也就是說，變量的度數(shù)為一。

d.有限性 - 輸入和輸出數(shù)必須有有限和無限之分。如果函數(shù)有無限因子，則最優(yōu)解不可行。

e.非負(fù)值 - 變量的值必須為正或零。不應(yīng)該是負(fù)值。

d.決策變量 - 決策變量決定結(jié)果。它提供了問題的最終解決方案。對于任何問題，第一步都是確定決策變量。

4.線性規(guī)劃問題

線性規(guī)劃(LP)問題是與尋找線性函數(shù)的最優(yōu)值有關(guān)的問題。最優(yōu)值可以是最大值，也可以是最小值。給定的線性函數(shù)被視為目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)可以包含多個帶有約束條件的變量，并且必須滿足一組稱為線性約束條件的線性不等式。線性規(guī)劃問題可用于尋找生產(chǎn)、供應(yīng)、運(yùn)輸和分配等方面的最佳解決方案。

5.解決線性規(guī)劃問題的方法

線性規(guī)劃問題可以用多種方法來解決，如圖形法、單純形法或使用 R、open solver 等工具。下面，我們將詳細(xì)介紹兩種最重要的方法，即單純形法和圖形法。

6.線性規(guī)劃的單純形法

單純形法是解決線性規(guī)劃問題最常用的方法之一。它是一個尋找最優(yōu)解的迭代過程。在這種方法中，基礎(chǔ)變量的值不斷變化，以獲得目標(biāo)函數(shù)的最大值。下面介紹線性規(guī)劃的單純形法算法：

步驟1：創(chuàng)建問題(寫出不等式的約束條件和目標(biāo)函數(shù))。

步驟2： 在每個不等式表達(dá)式中加入弱變量，將給定的不等式轉(zhuǎn)換為方程。

步驟3：創(chuàng)建原始的單純形表格。將目標(biāo)函數(shù)寫在最下面一行。每個不等式約束都出現(xiàn)在各自的一行?，F(xiàn)在，我們可以用一個稱為原始單純形表的展開矩陣來表示問題。

步驟4;確定最下面一行中最大的負(fù)條目，這有助于確定坐標(biāo)軸上的列。最下面一行的最大負(fù)條目決定了目標(biāo)函數(shù)的最大系數(shù)，這將幫助我們盡快實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)值的最大化。

步驟5： 計(jì)算系數(shù) 要計(jì)算系數(shù)，我們需要用最右邊一列的條目除以第一列(不包括最下面一行)的條目。系數(shù)最小的一行就是該行。這一步中確定的行和這一步中確定的元素將作為樞軸元素。

步驟6：進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使該列中的所有其他元素都等于零。

步驟7：如果最下面一行中沒有負(fù)元素，則過程結(jié)束。如果沒有，則從第 4 步重新開始。

步驟8：最后確定與最終單純形表格相關(guān)的解。

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