向量分析(vector analysis)，數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，處理既有大小又有方向的量。有些物理量和幾何量被稱為標(biāo)量，只要用合適的度量單位來(lái)表示它們的大小，就可以完全定義它們。因此，質(zhì)量可以用克來(lái)表示，溫度可以用某種刻度的度數(shù)來(lái)表示，時(shí)間可以用秒來(lái)表示。標(biāo)量可以用時(shí)鐘或溫度計(jì)等數(shù)字刻度上的點(diǎn)來(lái)表示。還有一些量，稱為矢量，需要指定方向和大小。速度、力和位移就是矢量的例子。矢量可以用一條有方向的線段來(lái)表示，箭頭指向矢量的方向，線段的長(zhǎng)度代表矢量的大小。

一、矢量代數(shù)

矢量的一個(gè)原型是一個(gè)有向線段AB，可以將其視為表示粒子從其初始位置A到新位置B的位移。為了區(qū)分矢量和標(biāo)量，習(xí)慣上用粗體字母表示矢量。因此，圖1中的矢量AB可以用a表示，其長(zhǎng)度(或大小)用|a|表示。在許多問(wèn)題中，矢量的初始點(diǎn)位置不重要，因此，如果兩個(gè)矢量具有相同的長(zhǎng)度和方向，則它們被視為相等。

兩個(gè)矢量a和b的相等性通常用常見(jiàn)的符號(hào)表示為a = b，矢量的基本代數(shù)運(yùn)算的有用定義是由幾何學(xué)提出的。因此，如果在圖1中，AB = a表示粒子從A到B的位移，然后粒子移動(dòng)到位置C，使得BC = b，顯然，從A到C的位移可以通過(guò)單一位移AC = c完成。因此，邏輯上可以寫成a + b = c。這個(gè)對(duì)a和b的和c的構(gòu)造與平行四邊形法則得出的結(jié)果相同，其中結(jié)果c由以矢量AB和AD為邊的平行四邊形的對(duì)角線AC給出。由于矢量BC = b的初始點(diǎn)B的位置不重要，所以BC = AD。圖1顯示了AD + DC = AC，因此滿足了交換律。

對(duì)向量加法成立。另外，很容易證明關(guān)聯(lián)律

如果s是一個(gè)標(biāo)量，那么sa或as被定義為一個(gè)矢量，其長(zhǎng)度為|s||a|，方向取決于s的正負(fù)。當(dāng)s為正時(shí)，方向與a相同，當(dāng)s為負(fù)時(shí)，方向與a相反。因此，a和-a是大小相等但方向相反的矢量。前述的定義以及標(biāo)量數(shù)(用s和t表示)的眾所周知的性質(zhì)表明，

二、向量積

向量相乘會(huì)產(chǎn)生兩種積，即點(diǎn)積和叉積。兩個(gè)向量 a 和 b 的點(diǎn)積或標(biāo)量積(寫為 a-b)是實(shí)數(shù) |a||b| cos (a,b)，其中 (a,b) 表示 a 和 b 的方向夾角、

如果a和b互相垂直，那么它們的點(diǎn)積a·b = 0，如果a和b都不是零矢量，那么點(diǎn)積為零表明這兩個(gè)矢量是彼此垂直的。如果a = b，那么cos(a, b) = 1，而a·a = |a|²給出了矢量a的長(zhǎng)度的平方。基本代數(shù)的結(jié)合律、交換律和分配律對(duì)于矢量的點(diǎn)乘法也是有效的。

其中，n 是垂直于 a 和 b 平面的單位長(zhǎng)度矢量，其方向使得右旋螺釘從 a 向 b 旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)沿 n 的方向前進(jìn)(見(jiàn)圖 2)。如果 a 和 b 平行，則 a × b = 0。a × b 的大小可以用以 a 和 b 為鄰邊的平行四邊形的面積來(lái)表示。另外，由于從 b 到 a 的旋轉(zhuǎn)與從 a 到 b 的旋轉(zhuǎn)相反、

由此可見(jiàn)，交叉積不是交換律，而是聯(lián)立律 (sa) × b = s(a × b) 和分配律

三、坐標(biāo)系

由于物理的經(jīng)驗(yàn)法則不依賴于特殊或偶然選擇的參考坐標(biāo)系，用于研究物理宇宙的理想工具是矢量分析。引入特殊的參考坐標(biāo)系建立了矢量與表示這個(gè)坐標(biāo)系中矢量分量的一組數(shù)字之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且從線段上的運(yùn)算規(guī)則導(dǎo)出了這些數(shù)字集合的明確操作規(guī)則。

如果選擇了一組特定的三個(gè)非共線矢量(稱為基矢量)，那么任何矢量A都可以唯一地表示為平行六面體的對(duì)角線，其邊是A在基矢量方向上的分量。常用的是一組三個(gè)相互正交的單位矢量(即長(zhǎng)度為1的矢量)i、j、k，它們沿著熟知的笛卡爾坐標(biāo)系的軸方向。在這個(gè)系統(tǒng)中，表達(dá)式采用如下形式：

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