微積分是研究變化的數(shù)學，而變化的速率通常由導數(shù)表示。因此，使用微積分的最常見方式之一是建立一個包含未知函數(shù) y=f(x) 及其導數(shù)(稱為微分方程)的方程。解決這種方程通常提供關于數(shù)量如何變化以及變化發(fā)生的原因的信息。這篇文章為大家?guī)黻P于華盛頓大學AMATH 351 A: 微分方程及應用導論的講解。

一、課程描述

本課程是繼學習微積分(MATH 124 和 125)之后的第一門微分方程課程。在本課程中，我們將通過物理、化學、生物科學和工程學中的實例來學習如何求解常微分方程(ODE)。我們的大部分理論討論都來自應用。

現(xiàn)在有一些軟件可以為我們得到 ODE 的解析解。因此，對我們來說，更重要的是理解隱藏在不同求解方法背后的邏輯，而不僅僅是熟悉如何搖動求解機器。這樣，我們就能理解一種求解方法為何有效，并有可能在未來開發(fā)出求解 ODE 的新方法。

二、先決條件

熟練掌握代數(shù)方程的運算、極限的評估、微分和積分的方法，達到 MATH 124 和 125 的水平。我們將介紹和使用與我們相關的線性代數(shù)、少量復變函數(shù)和冪級數(shù)。如果您以前接觸過線性代數(shù)、復變函數(shù)和泰勒級數(shù)，將會有所幫助。

三、一般微分方程

考慮方程 y'=3x^2，這是微分方程的一個示例，因為它包括一個導數(shù)。變量 x 和 y 之間存在關系：y 是 x 的一個未知函數(shù)。此外，方程的左側(cè)是 y 的導數(shù)。因此，我們可以這樣解釋這個方程：從某個函數(shù) y=f(x) 開始，然后對它進行求導。答案必須等于3x^2。哪個函數(shù)的導數(shù)等于3x^2?其中一個這樣的函數(shù)是 y=x^3，因此這個函數(shù)被認為是微分方程的一個解。

定義：微分方程

微分方程是一個涉及未知函數(shù) y=f(x) 及其一個或多個導數(shù)的方程。微分方程的解是一個函數(shù) y=f(x)，當將 f 及其導數(shù)代入方程時滿足微分方程的函數(shù)。

四、一般解和特解

我們已經(jīng)注意到微分方程 y'=2x 至少有兩個解：y=x^2 和y=x^2+4。這兩個解之間唯一的區(qū)別是最后一項，即一個常數(shù)。如果最后一項是一個不同的常數(shù)會怎樣呢?這個表達式仍然會是微分方程的解嗎?事實上，任何形式為y=x^2+C的函數(shù)，其中C代表任意常數(shù)，也是一個解。原因是x^2+C的導數(shù)是2x，不管C的值如何?？梢宰C明，這個微分方程的任何解都必須具有y=x^2+C的形式。這是微分方程的一般解的示例。一些這些解的圖形如圖所示。(注意：在這個圖中，我們使用了范圍在-4到4之間的偶數(shù)值C。實際上，C的值沒有限制;它可以是整數(shù)或其他值。)

在這個示例中，我們可以自由選擇任何我們希望的解；例如，y=x^2−3是這個微分方程解的一部分。這被稱為微分方程的特解。如果我們獲得有關問題的額外信息，通常可以唯一確定特定的解。

海馬課堂專業(yè)課程輔導做出以下新改變啦：
?試聽課全面升級，不滿意退50%，
?課程輔導產(chǎn)品升級，贈送考前保障呦
?輔導不滿意可以隨心退！
海馬課堂，3500+嚴選碩博學霸師資，針對學生的薄弱科目和學校教學進度，匹配背景相符的導師，根據(jù)學生情況進行1V1專屬備課，上課時間靈活安排，中英雙語詳細講解課程中的考點、 難點問題，并提供多方位的課后輔導，輔助學生掌握全部課程知識，補足短板。