也許你聽說過Évariste Galois嗎?(發(fā)音為“GAL-wah”)。今天我們將俯瞰他在數(shù)學領(lǐng)域最著名的貢獻：恰如其名的Galois理論。

一、

如果你是即將學習Galois理論的學生，希望下面的信息能為你的主課程提供一點前菜。在下面的“從英語到數(shù)學”部分，我們將簡要介紹標準研究生課程中出現(xiàn)的思想，這樣當你開始做練習時，至少能有一個鳥瞰全貌的了解。

二、

即使你不打算學習Galois理論，只是出于好奇，這篇文章也適合你!這里的信息應(yīng)該對具有至少本科抽象代數(shù)背景的任何人都是可訪問的。我將略去很多技術(shù)細節(jié)(但你不介意，對吧?)因為我在這里的目標只是傳達一些主要思想。希望這能激起你進一步學習的興趣。

總之，Galois理論揭示了群的結(jié)構(gòu)與域的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。然后利用這種關(guān)系來描述多項式的根是如何相互關(guān)聯(lián)的。

更具體地說，我們從一個多項式 f(x)開始。它的根存在于一個域中(稱為 f(x)的分裂域)。這些根展示出一種對稱性，通過讓某個特定的群(稱為 f(x)的Galois群)對它們進行操作來看到。我們可以通過Galois基本定理從域的結(jié)構(gòu)和反之亦然收集關(guān)于群的結(jié)構(gòu)的信息：

現(xiàn)在，為什么有人會關(guān)心排列多項式的根呢?這有什么好處?嗯，二次方程的公式在Galois出現(xiàn)之前就是眾所周知的(實際上可以追溯到巴比倫人)。因此，自然地，數(shù)學家們想知道，“是否存在類似的公式，適用于更高次的多項式?”換句話說，是否可以將n次多項式的根寫成多項式系數(shù)的某種代數(shù)組合(加、減、乘、除、開方)?事實證明，當n≤4時，答案是“是”，但對于任何n≥5，答案是“否”。

正是Galois對多項式根的排列群的研究導致了他發(fā)現(xiàn)尋找這種公式的必要和充分條件的發(fā)現(xiàn)。這個條件(數(shù)學家們尋找了300多年!)在將問題從域論的語言轉(zhuǎn)化為群論的語言時變得非常明確。Galois理論就是實現(xiàn)這一點的字典。

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