樣本方差 s2 用于計算樣本的差異程度。樣本是從總體中抽取一定數(shù)量的項目。例如，如果您要測量美國人的體重，要測量人口中每個人的體重是不可行的(無論從時間還是金錢的角度來看)。解決的辦法是從人口中抽取一個樣本，比如 1000 人，然后用這個樣本量來估算整個人口的實際體重。方差可以幫助您了解權(quán)重的分布情況。

一、樣本方差的定義

方差在數(shù)學上被定義為與平均值的平方差的平均值。但這在英語中究竟是什么意思呢?為了理解方差的計算，請將其分解為幾個步驟：

第 1 步：計算平均數(shù)(平均權(quán)重)。

第 2 步：減去平均數(shù)，然后將結(jié)果平方。

第 3 步：算出這些差值的平均值。

二、樣本方差有什么用?

雖然方差在數(shù)學意義上是有用的，但實際上它不會提供任何可以使用的信息。例如，如果你抽取一個權(quán)重樣本，你可能會得到一個 9801 的方差。這可能會讓你撓頭，不知道為什么要計算它!答案是，您可以使用方差來計算標準差--這是衡量權(quán)重分散程度的更好方法。為了得到標準差，取樣本方差的平方根：

√9801 = 99.

標準差與平均值相結(jié)合，可以告訴您大多數(shù)人的體重是多少。例如，如果您的平均值是 150 磅，標準差是 99 磅，那么大多數(shù)人的體重介于 51 磅(平均值-99)和 249 磅(平均值+99)之間。

樣本方差公式

如果用手計算樣本方差，教科書上給出的 "常用 "公式是

s² = Σ(xi - x?)² / (n - 1)

三、為什么在樣本方差公式中使用平方?

值為平方(而不是立方等)的原因與畢達哥拉斯定理和正交性有關(guān)(正交性是指“獨立”的另一種說法)。對于兩個獨立的隨機變量X和Y，我們有：

Var (X + Y) = Var(X) + Var(Y)

這類似于以下情況：

如果兩個三角形的邊長a和b是正交的，那么斜邊的長度是√(a² + b²)(Kjos-Hanssen，2019)。

計算樣本方差

方差公式可能很難使用，特別是如果您對運算順序不太熟悉的話。遠程最簡單的方法是使用在線標準差計算器來找到方差。

步驟1：將給定數(shù)據(jù)集中的數(shù)字相加。

3 + 21 + 98 + 203 + 17 + 9 = 351

步驟2：對您的答案進行平方：

351 × 351 = 123,201

...然后除以項目數(shù)量。在我們的例子中有6個項目，所以：

123,201 / 6 = 20,533.5

暫時將這個數(shù)字放在一邊。

步驟3：這次對步驟1中的原始數(shù)字進行單獨平方：

3 × 3 + 21 × 21 + 98 × 98 + 203 × 203 + 17 × 17 + 9 × 9

將這些數(shù)字(平方值)相加：

9 + 441 + 9604 + 41209 + 289 + 81 = 51,633

步驟4：從步驟3的結(jié)果中減去步驟2的結(jié)果。

51,633 - 20,533.5 = 31,099.5

暫時將這個數(shù)字放在一邊。

步驟5：從數(shù)據(jù)集中減去1*。對于我們的例子：

6 - 1 = 5

步驟6：將步驟4中的數(shù)字除以步驟5中的數(shù)字。這將給出方差：

31,099.5 / 5 = 6,219.9

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