“概率理論”領(lǐng)域是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它關(guān)注于描述不確定過(guò)程中不同結(jié)果的可能性。概率論是統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域的基石，統(tǒng)計(jì)學(xué)關(guān)注于評(píng)估從隨機(jī)數(shù)據(jù)樣本得出的推斷的不確定性。因此，我們需要了解概率理論的基礎(chǔ)，以理解推論統(tǒng)計(jì)學(xué)中使用的一些基本原則。在定義“概率”這個(gè)詞的含義之前，我將介紹一些術(shù)語(yǔ)，以激發(fā)思考概率的需求。

一、偶然事件

隨機(jī)性就在我們身邊。概率論是一個(gè)數(shù)學(xué)框架，它使我們能夠以邏輯合理的方式分析偶然事件。事件的概率是一個(gè)數(shù)字，表示該事件發(fā)生的可能性有多大。這個(gè)數(shù)字總是介于 0 和 1 之間，0 表示不可能，1 表示肯定。

概率實(shí)驗(yàn)的一個(gè)經(jīng)典例子是公平擲硬幣，其中兩種可能的結(jié)果是正面或反面。在這種情況下，拋出正面或反面的概率是 1/2 。在實(shí)際的一系列擲硬幣過(guò)程中，我們可能會(huì)得到多于或少于 50%的正面結(jié)果。但隨著擲硬幣次數(shù)的增加，正面的長(zhǎng)期頻率必然會(huì)越來(lái)越接近 50%。

對(duì)于不公平或加權(quán)硬幣，兩種結(jié)果的可能性并不相同。您可以通過(guò)上下拖動(dòng)真實(shí)概率條(右側(cè)藍(lán)色部分)來(lái)改變硬幣的權(quán)重或分布。如果我們給結(jié)果分配數(shù)字，比如 1 代表正面，0 代表反面，那么我們就創(chuàng)建了一個(gè)稱為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)對(duì)象。

二、期望值

隨機(jī)變量的期望值是一個(gè)試圖捕捉該隨機(jī)變量分布中心的數(shù)字。它可以解釋為從給定分布中提取的許多獨(dú)立樣本的長(zhǎng)期平均值。更準(zhǔn)確地說(shuō)，它被定義為隨機(jī)變量支持區(qū)中所有可能值的概率加權(quán)，

E[X]=∑x∈XxP(x)

考慮一下擲公平骰子的概率實(shí)驗(yàn)，觀察運(yùn)行樣本平均值向期望值 3.5 收斂的過(guò)程。

三、方差

期望值是對(duì)中心性的衡量，而隨機(jī)變量的方差則是對(duì)隨機(jī)變量分布范圍的量化。方差是隨機(jī)變量與其期望值之間平方差的平均值、

Var(X)=E[(X−E[X])2]

四、概率為什么重要?

您每天都在使用或看到身邊的概率。即使您沒(méi)有意識(shí)到，您每天都在使用概率來(lái)對(duì)結(jié)果未知的事情做出決策。您可能在不知不覺(jué)中利用理論或?qū)嶒?yàn)概率進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算，也可能利用主觀概率做出判斷。下面是一些現(xiàn)實(shí)生活中的例子，說(shuō)明你每天如何使用或看到概率：

1.天氣

氣象學(xué)家無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)天氣，因此他們使用儀器和工具來(lái)找出下雪、下雨或其他天氣狀況的可能性。如果下雨的概率是 30%，那么氣象學(xué)家就確定了下雨的概率，即 100 天中有 30 天的天氣條件類似。根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，您可以利用概率來(lái)決定當(dāng)天早上穿涼鞋還是雨靴去上班。

2.體育運(yùn)動(dòng)

教練和運(yùn)動(dòng)員經(jīng)常使用概率來(lái)計(jì)算比賽和比賽中的最佳運(yùn)動(dòng)策略。例如，如果一名橄欖球運(yùn)動(dòng)員在整個(gè)賽季中 15 次射門得分 10 次，那么他下一次射門得分的概率就是 10/15 或 2/3。再比如，棒球教練通過(guò)計(jì)算球員的平均打擊率來(lái)確定比賽陣容。如果一名球員的平均打擊率是 300，這意味著他每 10 次擊球中就能擊出 3 支安打，而他獲得安打的概率是 3/10。

3.保險(xiǎn)

在分析保險(xiǎn)單和考慮免賠額時(shí)，概率起著重要作用。例如，如果您所在地區(qū)每 100 名司機(jī)中就有 20 人在去年遭受過(guò)冰雹損壞，那么在選擇汽車保險(xiǎn)時(shí)，您就可以利用概率來(lái)了解您的汽車遭受冰雹損壞的概率為 1/5。這種顯著的概率可能會(huì)鼓勵(lì)您為冰雹損壞投保綜合險(xiǎn)，甚至可能降低免賠額。

4.游戲

當(dāng)您玩棋盤游戲、紙牌游戲或視頻游戲等帶有運(yùn)氣或機(jī)會(huì)元素的游戲時(shí)，您通常會(huì)權(quán)衡發(fā)生理想事件的幾率，例如得到您需要的牌或在骰子上擲出特定的數(shù)字。這種有利事件發(fā)生的可能性有助于你決定何時(shí)冒險(xiǎn)或愿意冒多大風(fēng)險(xiǎn)。例如，撲克玩家知道拿到某些牌的概率，比如拿到兩張同點(diǎn)的概率是 42%，而拿到三張同點(diǎn)的概率是 2%。

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