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一、什么是解析幾何?

解析幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它有助于在二維平面中表示幾何圖形并了解這些圖形的性質(zhì)。在這里，我們將嘗試了解坐標(biāo)平面和一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，以初步了解解析幾何。

1.坐標(biāo)平面

笛卡爾平面將平面空間分為二維，對(duì)于輕松定位點(diǎn)很有用。它也被稱為坐標(biāo)平面。坐標(biāo)平面的兩個(gè)軸是水平的 x 軸和垂直的 y 軸。這些坐標(biāo)軸將平面分為四個(gè)象限，這些軸的交點(diǎn)是原點(diǎn) (0. 0)。此外，坐標(biāo)平面中的任何一點(diǎn)都用點(diǎn) (x, y) 表示，其中 x 值是該點(diǎn)相對(duì)于 x 軸的位置，y 值是該點(diǎn)相對(duì)于 y 軸的位置。

坐標(biāo)平面四個(gè)象限中表示的點(diǎn)的性質(zhì)如下：

原點(diǎn) O 是 x 軸和 y 軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)為 (0. 0)。

原點(diǎn) O 右側(cè)的 x 軸是正 x 軸，原點(diǎn) O 左側(cè)的是負(fù) x 軸。同樣，原點(diǎn) O 上方的 y 軸是正 y 軸，原點(diǎn) O 下方的是負(fù) y 軸。

在第一象限中表示的點(diǎn) (x, y) 具有兩個(gè)正值，并參照正 x 軸和正 y 軸繪制。

在第二象限中表示的點(diǎn)是 (-x, y)，參照負(fù) x 軸和正 y 軸繪制。

在第三象限中表示的點(diǎn) (-x, -y) 參照負(fù) x 軸和負(fù) y 軸繪制。

在第四象限中表示的點(diǎn) (x, -y) 參照正 x 軸和負(fù) y 軸繪制。

解析幾何 —— 坐標(biāo)平面

2.一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

坐標(biāo)是一個(gè)地址，有助于在空間中定位一個(gè)點(diǎn)。對(duì)于二維空間，一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是 (x, y)。在這里，讓我們注意這兩個(gè)重要的術(shù)語。

橫坐標(biāo)：它是點(diǎn) (x, y) 中的 x 值，它是該點(diǎn)沿 x 軸距原點(diǎn)的距離。

縱坐標(biāo)：它是點(diǎn) (x, y) 中的 y 值，它是該點(diǎn)垂直于 x 軸的距離，平行于 y 軸。

一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)于執(zhí)行許多操作很有用，例如求距離、中點(diǎn)、直線的斜率、直線方程。

解析幾何 —— 坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)

解析幾何中的坐標(biāo)軸可以通過移動(dòng)坐標(biāo)軸進(jìn)行平移，使得新坐標(biāo)軸與舊坐標(biāo)軸平行。坐標(biāo)軸也可以繞原點(diǎn)相對(duì)于 x 軸旋轉(zhuǎn)一定角度。讓我們?cè)谙旅娴木渥又羞M(jìn)一步了解坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)。

4.坐標(biāo)軸的平移

以原點(diǎn)為 O 的給定坐標(biāo)軸上一點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x, y)。在這里，我們將原點(diǎn)轉(zhuǎn)移到一個(gè)新原點(diǎn) O'，新原點(diǎn) O' 相對(duì)于舊坐標(biāo)軸位于點(diǎn) (h, k) 處。新坐標(biāo)軸進(jìn)行平移，使得新坐標(biāo)軸與舊坐標(biāo)軸平行。一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)從 (x, y) 轉(zhuǎn)換為 (x' + h, y' + k)。任何關(guān)于舊坐標(biāo)軸的直線或曲線方程，都可以通過簡(jiǎn)單地將方程中的 (x, y) 替換為 (x + h, y + k) 輕松轉(zhuǎn)換為關(guān)于新坐標(biāo)軸的方程。

5.坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)

坐標(biāo)軸 ox 和 oy 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 θ，得到新坐標(biāo)軸 ox' 和 oy'。一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于舊坐標(biāo)軸的坐標(biāo)是 (x, y)，旋轉(zhuǎn)后，相對(duì)于新坐標(biāo)軸的坐標(biāo)是 (x', y')。此外，我們可以通過將 (x', y') 替換為 (xCosθ - ySinθ, xSinθ + yCosθ) 來恢復(fù)舊坐標(biāo)。

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