該函數(shù)通常被認(rèn)為是一個(gè)待解的 "未知數(shù)"，類似于x被認(rèn)為是代數(shù)方程(如x2-3x+2=0)中待解的未知數(shù)。因此，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)研究中，有大量使用計(jì)算機(jī)對(duì)某些偏微分方程的解進(jìn)行數(shù)值近似的方法。偏微分方程也占據(jù)了純數(shù)學(xué)研究的很大一部分，廣義上講，通常的問題是確定各種偏微分方程解的一般定性特征，如存在性、唯一性、規(guī)律性和穩(wěn)定性。在許多開放的問題中，納維-斯托克斯方程解的存在性和平穩(wěn)性被評(píng)為2000年的千年獎(jiǎng)問題之一。

偏微分方程在以數(shù)學(xué)為導(dǎo)向的科學(xué)領(lǐng)域，如物理學(xué)和工程學(xué)中無處不在。例如，它們是現(xiàn)代科學(xué)對(duì)聲音、熱量、擴(kuò)散、靜電、電動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)、彈性、廣義相對(duì)論和量子力學(xué)(薛定諤方程、保利方程等)的基礎(chǔ)性認(rèn)識(shí)。它們也產(chǎn)生于許多純粹的數(shù)學(xué)考慮，如微分幾何和變分計(jì)算;在其他值得注意的應(yīng)用中，它們是幾何拓?fù)鋵W(xué)中證明龐加萊猜想的基本工具。

部分由于這種來源的多樣性，存在著廣泛的不同類型的偏微分方程，并且已經(jīng)開發(fā)了處理許多出現(xiàn)的個(gè)別方程的方法。因此，人們通常認(rèn)為，偏微分方程沒有 "一般理論"，專業(yè)知識(shí)在某種程度上被劃分為幾個(gè)基本不同的子領(lǐng)域。

常微分方程構(gòu)成了偏微分方程的一個(gè)子類，對(duì)應(yīng)于單變量函數(shù)。截至2020年，隨機(jī)偏微分方程和非局部方程是 "PDE "概念的特別廣泛研究的延伸。更為經(jīng)典的課題包括橢圓和拋物線偏微分方程、流體力學(xué)、玻爾茲曼方程和色散偏微分方程，目前仍有很多積極的研究。

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