線性代數(shù)，處理向量和矩陣的數(shù)學(xué)學(xué)科，更廣泛地說，處理向量空間和線性變換的數(shù)學(xué)學(xué)科。與數(shù)學(xué)的其他部分經(jīng)常被新思想和未解決的問題所振奮不同，線性代數(shù)是非常好理解的。它的價值在于它的許多應(yīng)用，從數(shù)學(xué)物理學(xué)到現(xiàn)代代數(shù)和編碼理論。這篇文章為大家?guī)硐つ岽髮W(xué)math2922線性和抽象代數(shù)留學(xué)生課程輔導(dǎo)。

一、課程概覽

線性和抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)的基石之一，它是數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)在科學(xué)和工程領(lǐng)域的許多應(yīng)用的核心。本單元是MATH2022的高級版本，更加強調(diào)基本概念和數(shù)學(xué)的嚴謹性。本單元研究和探索矢量空間、矩陣和線性變換的特性，發(fā)展與同質(zhì)和非同質(zhì)線性方程(包括微分方程)的解集有關(guān)的一般原則。

線性獨立被介紹為理解和解決任意維度的線性系統(tǒng)的一種方式。研究實空間上的線性算子，特別注意特征值和特征向量的幾何意義，擴展第一年線性代數(shù)的思想。為了更好地理解對稱性，介紹了矩陣和置換群，并用來激勵對抽象群理論的研究。本單元的高潮是研究矩陣的內(nèi)部空間、二次形式和正常形式，以及它們在數(shù)學(xué)、科學(xué)和工程中的應(yīng)用。

二、向量和向量空間

線性代數(shù)通常從研究矢量開始，矢量被理解為既有大小又有方向的量。矢量很容易被用于物理應(yīng)用。例如，考慮一個可以在任何方向自由移動的固體物體。當(dāng)兩個力同時作用在這個物體上時，它們產(chǎn)生的綜合效應(yīng)與一個力是一樣的。為了說明這一點，將兩個力v和w表示為箭頭;每個箭頭的方向表示力的方向，其長度表示力的大小。在圖中，v+w對應(yīng)于由v和w代表的相鄰邊形成的平行四邊形的對角線。

三、線性變換和矩陣

矢量空間是線性代數(shù)的兩個主要成分之一，另一個是線性變換(或物理學(xué)家口中的 "算子")。線性變換是將一個矢量發(fā)送到或 "映射 "到另一個矢量的函數(shù)。最簡單的線性變換的例子是將每個向量發(fā)送到c乘以自身，其中c是某個常數(shù)。

因此，每個向量都保持相同的方向，但所有長度都乘以c。另一個例子是旋轉(zhuǎn)，它使所有長度保持不變，但改變了向量的方向。線性指的是變換保留了矢量加法和標(biāo)量乘法的事實。這意味著，如果T是一個將向量v發(fā)送到T(v)的線性變換，那么對于任何向量v和w，以及任何標(biāo)量c，該變換必須滿足T(v+w)=T(v)+T(w)和T(cv)=cT(v)的特性。

四、特征向量

在研究線性變換時，找到方向不被變換影響的非零向量是非常有用的。這些被稱為特征向量(也被稱為特性向量)。如果v是線性變換T的一個特征向量，那么T(v)=λv，對于某個標(biāo)量λ，這個標(biāo)量被稱為特征值。最大絕對值的特征值，連同其相關(guān)的特征向量，對許多物理應(yīng)用具有特殊意義。

這是因為，無論線性變換所代表的是什么過程，往往都是重復(fù)作用--將上一個變換的輸出反饋到另一個變換中--這導(dǎo)致每個任意(非零)矢量都收斂在與最大特征值相關(guān)的特征向量上，盡管是按特征值的冪數(shù)重新調(diào)整。換句話說，系統(tǒng)的長期行為是由其特征向量決定的。

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