多倫多大學(xué)概率和建模簡(jiǎn)介介紹概率理論，重點(diǎn)是構(gòu)建應(yīng)用的離散概率模型。完成本課程后，學(xué)生應(yīng)了解隨機(jī)性的概念及其數(shù)學(xué)表示的各個(gè)方面。主題包括隨機(jī)變量、維恩圖、離散概率分布、期望和方差、獨(dú)立性、條件概率、隊(duì)列等應(yīng)用。本文主要介紹離散分布的概述。

一、什么是離散分布?

離散分布是一種描述離散(可單獨(dú)計(jì)數(shù))結(jié)果(如 1、2、3、是、否、真或假)發(fā)生的概率分布。例如，二項(xiàng)分布就是一種離散分布，它評(píng)估的是在給定次數(shù)的試驗(yàn)中出現(xiàn) "是 "或 "否 "結(jié)果的概率，給定的是每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率，例如擲 100 次硬幣，結(jié)果是 "正面"。

統(tǒng)計(jì)分布可以是離散的，也可以是連續(xù)的。連續(xù)分布是由在連續(xù)體上的結(jié)果構(gòu)建而成的，例如所有大于 0 的數(shù)(包括小數(shù)延續(xù)到無(wú)窮大的數(shù)，如圓周率 = 3.14159265......)。一般來(lái)說(shuō)，離散和連續(xù)概率分布的概念以及它們所描述的隨機(jī)變量是概率論和統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)。

二、了解離散分配

散點(diǎn)圖是數(shù)據(jù)研究中使用的一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念。希望確定特定研究結(jié)果和概率的人，通過(guò)映射數(shù)據(jù)集中的可測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)，繪制出概率散點(diǎn)圖。概率散點(diǎn)圖的許多形狀，如正態(tài)分布("鐘形曲線")，都可以通過(guò)散點(diǎn)研究得出。

統(tǒng)計(jì)學(xué)家可根據(jù)待測(cè)結(jié)果的性質(zhì)，確定離散或連續(xù)分布的發(fā)展。正態(tài)分布是連續(xù)的，考慮了數(shù)線上所有可能的結(jié)果，而離散型分布則不同，它是由只能遵循有限或離散結(jié)果集的數(shù)據(jù)構(gòu)建而成的。

因此，離散型分布代表了結(jié)果數(shù)量可數(shù)的數(shù)據(jù)，這意味著可能的結(jié)果可以放在一個(gè)列表中，然后繪制在圖形上。列表可以是有限的，也可以是無(wú)限的。例如，在確定一個(gè)有六個(gè)面的骰子的概率分布時(shí)，列表是 1、2、3、4、5、6。如果擲兩顆骰子，擲出兩顆 6(12)或兩顆 A(2)的概率要比其他組合小得多;在圖形上，你會(huì)看到圖形上最小的條代表這兩種概率。

三、離散概率分布的類型

最常見的離散概率分布是二項(xiàng)分布、伯努利分布、多項(xiàng)式分布和泊松分布。

1.二項(xiàng)分布

二項(xiàng)概率分布是一種只給出兩種結(jié)果概率的分布。在這種分布中，數(shù)據(jù)是在以兩種形式之一重復(fù)試驗(yàn)后收集的，并被歸類為成功或失敗。一般來(lái)說(shuō)，只有兩種可能結(jié)果的有限集合，比如零或一。例如，如果你擲硬幣，你會(huì)得到{杯子，硬幣}列表。

二叉分布用于基于二叉樹的期權(quán)估值模型。在二叉樹模型中，標(biāo)的值只能有兩種可能值中的一種--在這種模型中，每次迭代只有兩種可能的結(jié)果：固定值的向上移動(dòng)或向下移動(dòng)。

2.伯努利分布

伯努利分布與二項(xiàng)分布類似，都有兩種可能的結(jié)果。進(jìn)行測(cè)試時(shí)，伯努利分布的結(jié)果為 0 或 1。1表示成功，0表示失敗--這種測(cè)試稱為伯努利測(cè)試。

因此，如果你把一個(gè)綠球(代表成功)和一個(gè)紅球(代表失敗)放在一個(gè)有蓋的碗里，然后不加觀察地進(jìn)行選擇，你會(huì)把每個(gè)結(jié)果記錄為 0 或 1，而不是樣本的成功或失敗。伯努利分布用于確定投資成功或失敗的概率。

3.多項(xiàng)式分布

當(dāng)多次測(cè)量的結(jié)果可能超過(guò)兩種時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)多項(xiàng)式分布。例如，假設(shè)你有一個(gè)蓋碗，里面有一個(gè)綠球、一個(gè)紅球和一個(gè)黃球。在測(cè)試之前，請(qǐng)注意隨機(jī)選擇每個(gè)彈珠作為樣本的次數(shù)。

四、計(jì)算離散概率分布

如何計(jì)算離散概率分布取決于測(cè)試、要測(cè)量的內(nèi)容和測(cè)量方法。例如，如果擲兩次硬幣，可能的組合如下：

反面 /反面 (TT)

正面/反面 (HT)

反面 /正面(TH)

正面/正面 (HH)

由于擲兩次硬幣有兩種可能的結(jié)果，因此有四種可能性。每種結(jié)果代表四分之一的可能性。HT 和 TH 組合各占四分之一(基本相同)，代表一半的結(jié)果。因此，你會(huì)在四分之一的情況下得到 TT 或 HH，在一半的情況下得到 HT 或 TH。

如果擲兩顆骰子，效果也是一樣的，因?yàn)閿S骰子的結(jié)果是離散的。因?yàn)槊總€(gè)骰子有六個(gè)面，所以有 36 種可能，但不可能出現(xiàn) 1 的結(jié)果，因?yàn)槊總€(gè)骰子上最小的數(shù)字是 1。最小的結(jié)果是 2，最大的結(jié)果是 12。許多組合會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，就像硬幣的例子一樣，因此重復(fù)出現(xiàn)的可能性越多，寫出的情況也就越多。

如下表所示，如果把擲骰子結(jié)果的數(shù)字相加，有一種情況的結(jié)果是 2，有一種情況的結(jié)果是 12，因此 2 和 12 的概率是 36 分之一。

X(結(jié)果)等于 x(所選數(shù)字)的概率 (P) 是：

1 / 36

P(x=3) = 2 / 36

P(x=4) = 3 / 36

P(X=5) = 4 / 36

p(x=6) = 5 / 36

p(x=7) = 6 / 36

p(x=8) = 5 / 36

p(x=9) = 4 / 36

p(x=10) = 3 / 36

p(x=11) = 2 / 36

p(x=12) = 1 / 36

骰子擲出 2 的概率是 36 分之一。擲出 3 個(gè)骰子的概率是 36 分之 2，以此類推。

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