數(shù)論(或舊時(shí)的算術(shù)或高等算術(shù))是純數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要致力于研究整數(shù)和整數(shù)值的函數(shù)。德國(guó)數(shù)學(xué)家卡爾-弗里德里希-高斯(1777-1855)說(shuō)： “數(shù)學(xué)是科學(xué)的女王--數(shù)論是數(shù)學(xué)的女王。”數(shù)論家研究素?cái)?shù)以及由整數(shù)組成的數(shù)學(xué)對(duì)象(例如有理數(shù))或定義為整數(shù)的概括(例如代數(shù)整數(shù))的屬性。

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一、什么是數(shù)論?

整數(shù)既可以被視為本身，也可以被視為方程的解(二泛幾何)。數(shù)論中的問題通常最好通過研究分析對(duì)象(例如黎曼Zeta函數(shù))來(lái)理解，這些對(duì)象以某種方式編碼整數(shù)、素?cái)?shù)或其他數(shù)論對(duì)象的屬性(分析數(shù)論)。人們也可以研究實(shí)數(shù)與有理數(shù)的關(guān)系，例如，由后者逼近的實(shí)數(shù)(Diophantine逼近)。

數(shù)論的舊稱是算術(shù)。到二十世紀(jì)初，它已被 "數(shù)論 "所取代。("算術(shù) "一詞被公眾用來(lái)指 "基本計(jì)算";它在數(shù)理邏輯中也有其他含義，如佩阿諾算術(shù)，以及計(jì)算機(jī)科學(xué)，如浮點(diǎn)算術(shù)。)在20世紀(jì)下半葉，數(shù)論的使用重新獲得了一些地位，可以說(shuō)部分是由于法國(guó)的影響。特別是，作為一個(gè)形容詞，arithmetical通常比數(shù)論的更受歡迎。

二、東方的數(shù)論

羅馬衰落后的一千年里，歐洲沒有取得重大進(jìn)展，但中國(guó)和印度的學(xué)者對(duì)數(shù)論作出了自己的貢獻(xiàn)。在天文學(xué)和歷法問題的推動(dòng)下，中國(guó)數(shù)學(xué)家孫子(Sun Tzu;約在公元250年)解決了多個(gè)二方程。作為一個(gè)例子，他要求一個(gè)整數(shù)除以3后剩下2，除以5后剩下3，除以7后剩下2(他的答案是23)。近一千年后，秦九韶(1202-61)給出了一個(gè)解決這類問題的一般程序，現(xiàn)在被稱為中國(guó)余數(shù)定理。

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